3.176 \(\int \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)} \tanh ^5(x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=83 \[ -\frac{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}}{5 b^2}+\frac{(a+2 b) \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}}{3 b^2}-\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}+\sqrt{a} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a}}\right ) \]

[Out]

Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - Sqrt[a + b*Sech[x]^2] + ((a + 2*b)*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2))/(
3*b^2) - (a + b*Sech[x]^2)^(5/2)/(5*b^2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.146731, antiderivative size = 83, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 17, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.353, Rules used = {4139, 446, 88, 50, 63, 208} \[ -\frac{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}}{5 b^2}+\frac{(a+2 b) \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}}{3 b^2}-\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}+\sqrt{a} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a}}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]*Tanh[x]^5,x]

[Out]

Sqrt[a]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - Sqrt[a + b*Sech[x]^2] + ((a + 2*b)*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2))/(
3*b^2) - (a + b*Sech[x]^2)^(5/2)/(5*b^2)

Rule 4139

Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With
[{ff = FreeFactors[Sec[e + f*x], x]}, Dist[1/f, Subst[Int[((-1 + ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*(c*ff*x)^n)^p)/x
, x], x, Sec[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && (GtQ[m, 0] || EqQ[
n, 2] || EqQ[n, 4] || IGtQ[p, 0] || IntegersQ[2*n, p])

Rule 446

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 88

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandI
ntegrand[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && IntegersQ[m, n] &&
(IntegerQ[p] || (GtQ[m, 0] && GeQ[n, -1]))

Rule 50

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n)/(b*
(m + n + 1)), x] + Dist[(n*(b*c - a*d))/(b*(m + n + 1)), Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[m + n + 1, 0] &&  !(IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (G
tQ[m, 0] && LtQ[m - n, 0]))) &&  !ILtQ[m + n + 2, 0] && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)} \tanh ^5(x) \, dx &=-\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (-1+x^2\right )^2 \sqrt{a+b x^2}}{x} \, dx,x,\text{sech}(x)\right )\\ &=-\left (\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(-1+x)^2 \sqrt{a+b x}}{x} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )\right )\\ &=-\left (\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \left (\frac{(-a-2 b) \sqrt{a+b x}}{b}+\frac{\sqrt{a+b x}}{x}+\frac{(a+b x)^{3/2}}{b}\right ) \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )\right )\\ &=\frac{(a+2 b) \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}}{3 b^2}-\frac{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}}{5 b^2}-\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a+b x}}{x} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )\\ &=-\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}+\frac{(a+2 b) \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}}{3 b^2}-\frac{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}}{5 b^2}-\frac{1}{2} a \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )\\ &=-\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}+\frac{(a+2 b) \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}}{3 b^2}-\frac{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}}{5 b^2}-\frac{a \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}\right )}{b}\\ &=\sqrt{a} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )-\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}+\frac{(a+2 b) \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}}{3 b^2}-\frac{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}}{5 b^2}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.707993, size = 114, normalized size = 1.37 \[ \frac{1}{15} \cosh (x) \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)} \left (\left (\frac{2 a^2}{b^2}+\frac{10 a}{b}-15\right ) \text{sech}(x)+\left (10-\frac{a}{b}\right ) \text{sech}^3(x)+\frac{15 \sqrt{2} \sqrt{a} \log \left (\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}+\sqrt{2} \sqrt{a} \cosh (x)\right )}{\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}}-3 \text{sech}^5(x)\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]*Tanh[x]^5,x]

[Out]

(Cosh[x]*Sqrt[a + b*Sech[x]^2]*((15*Sqrt[2]*Sqrt[a]*Log[Sqrt[2]*Sqrt[a]*Cosh[x] + Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]]
)/Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]] + (-15 + (2*a^2)/b^2 + (10*a)/b)*Sech[x] + (10 - a/b)*Sech[x]^3 - 3*Sech[x]^5))/
15

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.156, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{a+b \left ({\rm sech} \left (x\right ) \right ) ^{2}} \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{5}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*sech(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^5,x)

[Out]

int((a+b*sech(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^5,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a} \tanh \left (x\right )^{5}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sech(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^5,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*sech(x)^2 + a)*tanh(x)^5, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 5.88927, size = 12714, normalized size = 153.18 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sech(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^5,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/60*(15*(b^2*cosh(x)^10 + 10*b^2*cosh(x)*sinh(x)^9 + b^2*sinh(x)^10 + 5*b^2*cosh(x)^8 + 5*(9*b^2*cosh(x)^2 +
b^2)*sinh(x)^8 + 10*b^2*cosh(x)^6 + 40*(3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)^7 + 10*(21*b^2*cosh(x)^4 + 14*
b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 10*b^2*cosh(x)^4 + 4*(63*b^2*cosh(x)^5 + 70*b^2*cosh(x)^3 + 15*b^2*cosh(x))*s
inh(x)^5 + 10*(21*b^2*cosh(x)^6 + 35*b^2*cosh(x)^4 + 15*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^4 + 5*b^2*cosh(x)^2 + 40*
(3*b^2*cosh(x)^7 + 7*b^2*cosh(x)^5 + 5*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 5*(9*b^2*cosh(x)^8 + 28*b^2*co
sh(x)^6 + 30*b^2*cosh(x)^4 + 12*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 10*(b^2*cosh(x)^9 + 4*b^2*cosh(x)^7 + 6
*b^2*cosh(x)^5 + 4*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a
^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b
^3)*cosh(x)^6 + 2*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3 + 14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(
a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 14*a^2*b
+ 9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2 + 30*(2*a^3 + 5*a^2*
b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*
b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 +
2*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b +
3*(6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^6 + 6*(a^2 + 2*a*b
+ b^2)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^6 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 3*(5*(a^2 + 2*a*b
+ b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*
cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 4*a*b)*cosh(x)^2 + (15*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 18*(a^2 + 2*a*b + b^2)*co
sh(x)^2 + 3*a^2 + 4*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*(3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^5 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^
3 + (3*a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x
)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)
^5 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^3 + (2*a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sin
h(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x
)^6)) + 15*(b^2*cosh(x)^10 + 10*b^2*cosh(x)*sinh(x)^9 + b^2*sinh(x)^10 + 5*b^2*cosh(x)^8 + 5*(9*b^2*cosh(x)^2
+ b^2)*sinh(x)^8 + 10*b^2*cosh(x)^6 + 40*(3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)^7 + 10*(21*b^2*cosh(x)^4 + 14
*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 10*b^2*cosh(x)^4 + 4*(63*b^2*cosh(x)^5 + 70*b^2*cosh(x)^3 + 15*b^2*cosh(x))*
sinh(x)^5 + 10*(21*b^2*cosh(x)^6 + 35*b^2*cosh(x)^4 + 15*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^4 + 5*b^2*cosh(x)^2 + 40
*(3*b^2*cosh(x)^7 + 7*b^2*cosh(x)^5 + 5*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 5*(9*b^2*cosh(x)^8 + 28*b^2*c
osh(x)^6 + 30*b^2*cosh(x)^4 + 12*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 10*(b^2*cosh(x)^9 + 4*b^2*cosh(x)^7 +
6*b^2*cosh(x)^5 + 4*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(-(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 +
a*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(
x)^2 - 1)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*
(a*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + a)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*sqrt(2)*((2*a^2 + 10*a
*b - 15*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*sinh(x)^8 +
4*(2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*sinh(
x)^6 + 8*(7*(2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(6*a^2 + 26
*a*b - 29*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*cosh(x)^4 + 30*(2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^2 +
6*a^2 + 26*a*b - 29*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*cos
h(x)^3 + (6*a^2 + 26*a*b - 29*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(2*a^2 + 10
*a*b - 15*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^4 + 3*(6*a^2 + 26*a*b - 29*b^2)*cosh(x)^2 + 2*a^
2 + 9*a*b - 5*b^2)*sinh(x)^2 + 2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2 + 8*((2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(2*a^2 + 9
*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^5 + (6*a^2 + 26*a*b - 29*b^2)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt
((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(b^2*cosh(x)^10 + 10*b^2*
cosh(x)*sinh(x)^9 + b^2*sinh(x)^10 + 5*b^2*cosh(x)^8 + 5*(9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^8 + 10*b^2*cosh(x)^6
+ 40*(3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)^7 + 10*(21*b^2*cosh(x)^4 + 14*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 10
*b^2*cosh(x)^4 + 4*(63*b^2*cosh(x)^5 + 70*b^2*cosh(x)^3 + 15*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 10*(21*b^2*cosh(x)^6 + 3
5*b^2*cosh(x)^4 + 15*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^4 + 5*b^2*cosh(x)^2 + 40*(3*b^2*cosh(x)^7 + 7*b^2*cosh(x)^5
+ 5*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 5*(9*b^2*cosh(x)^8 + 28*b^2*cosh(x)^6 + 30*b^2*cosh(x)^4 + 12*b^2
*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 10*(b^2*cosh(x)^9 + 4*b^2*cosh(x)^7 + 6*b^2*cosh(x)^5 + 4*b^2*cosh(x)^3 +
b^2*cosh(x))*sinh(x)), -1/30*(15*(b^2*cosh(x)^10 + 10*b^2*cosh(x)*sinh(x)^9 + b^2*sinh(x)^10 + 5*b^2*cosh(x)^8
+ 5*(9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^8 + 10*b^2*cosh(x)^6 + 40*(3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)^7 + 10*
(21*b^2*cosh(x)^4 + 14*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 10*b^2*cosh(x)^4 + 4*(63*b^2*cosh(x)^5 + 70*b^2*cosh(x
)^3 + 15*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 10*(21*b^2*cosh(x)^6 + 35*b^2*cosh(x)^4 + 15*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^4
+ 5*b^2*cosh(x)^2 + 40*(3*b^2*cosh(x)^7 + 7*b^2*cosh(x)^5 + 5*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 5*(9*b^
2*cosh(x)^8 + 28*b^2*cosh(x)^6 + 30*b^2*cosh(x)^4 + 12*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 10*(b^2*cosh(x)^
9 + 4*b^2*cosh(x)^7 + 6*b^2*cosh(x)^5 + 4*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*((a +
b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a
+ 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3
+ (a^2 + a*b)*sinh(x)^4 + (2*a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + 3*a*b)*sinh(x)^2 + a^
2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))) + 15*(b^2*cosh(x)^10 + 10*b^2*cosh(x)*sinh
(x)^9 + b^2*sinh(x)^10 + 5*b^2*cosh(x)^8 + 5*(9*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^8 + 10*b^2*cosh(x)^6 + 40*(3*b^2*
cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)^7 + 10*(21*b^2*cosh(x)^4 + 14*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 10*b^2*cosh(x)
^4 + 4*(63*b^2*cosh(x)^5 + 70*b^2*cosh(x)^3 + 15*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 10*(21*b^2*cosh(x)^6 + 35*b^2*cosh(x
)^4 + 15*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^4 + 5*b^2*cosh(x)^2 + 40*(3*b^2*cosh(x)^7 + 7*b^2*cosh(x)^5 + 5*b^2*cosh
(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 5*(9*b^2*cosh(x)^8 + 28*b^2*cosh(x)^6 + 30*b^2*cosh(x)^4 + 12*b^2*cosh(x)^2 +
b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 10*(b^2*cosh(x)^9 + 4*b^2*cosh(x)^7 + 6*b^2*cosh(x)^5 + 4*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))
*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 +
a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*
sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x)
)*sinh(x) + a)) - 2*sqrt(2)*((2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*cosh(x)*sinh(x)
^7 + (2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*sinh(x)^8 + 4*(2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2
)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^2 + 9*a*b -
5*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(6*a^2 + 26*a*b - 29*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*cosh(x)^4
+ 30*(2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^2 + 6*a^2 + 26*a*b - 29*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*
cosh(x)^5 + 10*(2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^3 + (6*a^2 + 26*a*b - 29*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(2*a^2 + 9
*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^4 + 3*
(6*a^2 + 26*a*b - 29*b^2)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*sinh(x)^2 + 2*a^2 + 10*a*b - 15*b^2 + 8*((2*a^2 +
10*a*b - 15*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(2*a^2 + 9*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^5 + (6*a^2 + 26*a*b - 29*b^2)*cosh(x)^3 + (2*a
^2 + 9*a*b - 5*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x
) + sinh(x)^2)))/(b^2*cosh(x)^10 + 10*b^2*cosh(x)*sinh(x)^9 + b^2*sinh(x)^10 + 5*b^2*cosh(x)^8 + 5*(9*b^2*cosh
(x)^2 + b^2)*sinh(x)^8 + 10*b^2*cosh(x)^6 + 40*(3*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)^7 + 10*(21*b^2*cosh(x)^
4 + 14*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 10*b^2*cosh(x)^4 + 4*(63*b^2*cosh(x)^5 + 70*b^2*cosh(x)^3 + 15*b^2*cos
h(x))*sinh(x)^5 + 10*(21*b^2*cosh(x)^6 + 35*b^2*cosh(x)^4 + 15*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^4 + 5*b^2*cosh(x)^
2 + 40*(3*b^2*cosh(x)^7 + 7*b^2*cosh(x)^5 + 5*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 5*(9*b^2*cosh(x)^8 + 28
*b^2*cosh(x)^6 + 30*b^2*cosh(x)^4 + 12*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 10*(b^2*cosh(x)^9 + 4*b^2*cosh(x
)^7 + 6*b^2*cosh(x)^5 + 4*b^2*cosh(x)^3 + b^2*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{a + b \operatorname{sech}^{2}{\left (x \right )}} \tanh ^{5}{\left (x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sech(x)**2)**(1/2)*tanh(x)**5,x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*sech(x)**2)*tanh(x)**5, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a} \tanh \left (x\right )^{5}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sech(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^5,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sqrt(b*sech(x)^2 + a)*tanh(x)^5, x)